Guten Tag,
Sie konnten Ihre Reise nach Kroatien nicht antreten, weil Ihnen die Einreise verweigert wurde. Grund dafür war die fehlende Einverständniserklärung der Mutter, mit deren Kind Sie verreisen wollten.
Ihnen könnte ein Anspruch auf Reisepreisminderung und Schadensersatz zustehen. Dafür ist erforderlich, dass die Reise mangelhaft war. Ein Reisemangel ist das Vorhandensein eines Fehlers oder das Nichtvorhandensein einer zugesicherten Eigenschaft.
Die Definition eines Reisemangels können Sie hier genauer nachlesen: http://passagierrechte.org/Reisemangel#Definition_des_Reisemangels
Ich denke, es ist unstreitig, dass in der Einreiseverweigerung ein Reisemangel besteht. Demnach hätten Sie einen Anspruch auf Reisepreisminderung nach § 651 d BGB:
(1) Ist die Reise im Sinne des § 651c Abs. 1 mangelhaft, so mindert sich für die Dauer des Mangels der Reisepreis nach Maßgabe des § 638 Abs. 3. § 638 Abs. 4 findet entsprechende Anwendung.
Sie sagen, dass TUI der Meinung ist, jeder Reisende müsse sich selbst über die Einreisebestimmungen informieren. Dazu habe ich ein passendes Urteil gefunden (einfach zu finden, wenn Sie bei Google "AG Hannover 425 C 14444/08 reise-recht-wiki.de" eingeben):
AG Hannover, Urt. v. 31.03.2009, Az: 425 C 14444/08
Wenn ein Kunde für sich und ein andersnamiges minderjähriges Kind hat der Reiseveranstalter den Kunden darüber zu informieren, dass er eine Einverständniserklärung des vertretungsberechtigten Elternteils bei der Einreise dabeihaben muss, falls dieser Elternteil nicht bei der Reise dabei ist. Diese Aufklärung kann im Reiseprospekt stehen oder während der Buchung erfolgen. Die ungefragte Aufklärung hierüber ist eines der Hauptpflichten des Reiseveranstalters, da die Missachtung von Einreisebestimmungen im Urlaubsland die Reise vereiteln oder beeinträchtigen kann.
Das AG Hannover nimmt hierbei Bezug zu einem BGH Urteil:
BGH vom 17.01.1985, Az.: VII ZR 375/83
Von dem Reiseveranstalter ist daher grundsätzlich zu verlangen, in seinen Auslandsreiseprospekten oder bei der Buchung auf die unbedingt einzuhaltenden Einreisebestimmungen des Durchreise- oder Ziellandes ungefragt hinzuweisen.
Sie sagen, dass die Mutter des Kindes Ihre Lebensgefährtin ist. Ich gehe also davon aus, dass das Kind einen anderen Nachnamen hat als Sie. Um einen Flug zu buchen, müssen im Reisebüro unter anderem Angaben zum Nachnamen gemacht werden. Aufgrund der Namensverschiedenheit, war TUI also verpflichtet, Sie über das Erfordernis einer Einverständniserklärung zur Einreise aufzuklären.
Die Reise musste aufgrund fehlender Einverständniserklärung am Flughafen in Kroatien abgebrochen werden. Meiner Meinung nach, haben Sie also einen Anspruch auf Erstattung des Reisepreises und Schadensersatz wegen nutzlos aufgewendeter Urlaubszeit. Der Schadensersatz ergibt sich aus § 651 f BGB:
(2) Wird die Reise vereitelt oder erheblich beeinträchtigt, so kann der Reisende auch wegen nutzlos aufgewendeter Urlaubszeit eine angemessene Entschädigung in Geld verlangen.
Für die Geltendmachung der Ansprüche würde ich aber sicherheitshalber einen Anwalt um Hilfe fragen. Es ist oft von Fall zu Fall unterschiedlich zu bewerten, welche Ansprüche genau bestehen.